[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wyznacznik macierzy
Uwaga
Wyznacznik definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych:
"
"
# #
"
11
12
1n
A=
21
22
2n
- macierz A
a, a, ,a
n1
n2
nn
"
"
# #
"
11
12
1n
det A
=
21
22
2n
- wyznacznik macierzy A
a, a, ,a
n1
n2
nn
Wyznacznik macierzy A to wyznacznik n wektorów, które stanowią
kolumny tej macierzy.
Czyli:
∑
detA= ε(δ)a
1σ(1)
⋅ ⋅
... a
nσ(n)
σ S
∈
n
Własności wyznacznika macierzy:
1)
Wyznacznik macierzy to liczba przyporządkowana macierzy (różne
macierze mogą mieć ten sam wyznacznik).
A
=
11
−
detA=
11
−
=
5
23 23
100 100
0 5 0 detB= 0 5 0 5
001
B
=
=
001
2)
Wyznacznik macierzy A
T
jest równy wyznacznikowi macierzy A.
detA
T
=detA
3)
Możemy dodać wyznaczniki tego samego stopnia z dwóch macierzy
nie licząc ich. Można to zrobić
⇔
macierze różnią się dokładnie
jednym wierszem (dokładnie jedną kolumną).
Wówczas:
a
11
" " " " " "
a +b
1i
1i
a
1n
a
11
a
1i
a
1n
a
11
b
1i
a
a
1n
a
21
a +b
2i
2i
a
2n
=
a
21
a
2i
a
2n
+
a
21
b
2i
#
#
# # # #
" " " " " "
a
n1
a +b
ni
ni
a
nn
a
n1
a
ni
a
nn
a
n1
b
ni
a
nn
=
n
4)
Aby pomnożyć wyznacznik przez liczbę (nie licząc go) mnożymy
1 wiersz (albo 1 kolumnę) wyznacznika przez tą liczbę.
det (x ,x ,...,x +x ',...,x ) det (x ,x ,...,x ,...,x )+ det (x ,x ,...,x ',...,x )
1
2
i
i
n
1
2
i
n
1
2
i
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
a, a, ,a
a, a, ,a
a, a, ,a
a, a, ,a
2n
a
11
"" " "
1i
a αa αa αa
1n
11
1i
1n
α
a
21
a
2i
a
2n
=
a
21
a
2i
a
#
2n
#
# #
"" " "
a
n1
a
ni
a
nn
a
n1
a
ni
a
nn
5)
Jeżeli kolumny (albo wiersze) (jako wektory) są liniowo zależne to
wyznacznik jest równy 0.
6)
Zamiana kolejności kolumn albo wierszy powoduje odpowiednią
zmianę znaku wyznacznika.
7)
Wartość wyznacznika nie zmieni się jeżeli do wiersza (albo kolumny)
dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (albo kolumn).
8)
Można uzasadnić, że dla macierzy A
n
×
n
i B
n
×
n
zachodzi:
det(A
⋅
B)=detA
⋅
detB
9)
Z: A
n
×
n
– nieosobliwa
T: detA
≠
0
∧
detA
-1
=
det A
1
Def 1.
a
11
""
a
1i
a
a
1n
det A=
a
21
a
2i
#
- wyznacznik macierzy A
# %
""
a
n1
a
ni
a
nn
Podwyznacznikiem macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej
z macierzy A przez skreślenie w tej macierzy pewnej liczby wierszy i tej
samej ilości kolumn.
Def 2.
Minorem M
ij
macierzy A przynależnym elementowi a
ij
nazywamy
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i – tego
wiersza oraz j-tej kolumny.
Def 3.
Dopełnieniem algebraicznym elementu a
ij
nazywamy minor M
ij
pomnożony przez (-1)
i+j
, czyli A
ij
=(-1)
i+j
M
ij
.
Twierdzenie 1
(Laplace’a)
Z: A
n
×
n
=[a
ij
] – macierz
T: Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów
dowolnie wybranego wiersza (albo kolumny) przez ich dopełnienia
algebraiczne.
detA = a
1j
⋅
A
1j
+a
2j
⋅
A
2j
+...+a
nj
⋅
A
nj
(jest to rozwinięcie względem j-tejkolumny)
detA = a
i1
⋅
A
i1
+a
i2
⋅
A
i2
+…+a
in
⋅
A
in
(jest to rozwinięcie względem i-tego wiersza)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
a
2n
Przykład 1
11 0 0
010
110
0110
0( 1) 0 0 1 1( 1) 0 0 1
00 1 1
=⋅− ⋅ +⋅− ⋅ +
13
+
23
101
101
10 0 1
110
110
1 ( 1)
+⋅− ⋅
33
+
0 1 0 0 ( 1)
+⋅− ⋅
43
+
0 1 0 0 1 1 0 0
= −++ =
101
001
Przykład 2
a 0 00 0
11
a 0 00 0
22
a 0 00 0
22
a a 00 0
21
22
a a 00 0
32
33
a a 00 0
32
33
# %%# # %%#
0
=−
a ( 1)
11
0
=−⋅ −
a ( 1) a ( 1)
11
11
# %%#
0
11
11
22
a
i1
"%
a
ii
0
a
i1
"%
a
ii
0
a
i1
"%
a
ii
0
aa
n1
n2
""
a
nn
aa
n1
n2
""
a
aa
n1
n2
""
a
=⋅ ⋅ ⋅
a a ... a
11
22
nn
W szczególności dla macierzy diagonalnej:
a 0000
0a 0 0 0
11
22
# %#
"
0
0
=⋅ ⋅ ⋅
a a ... a
11
22
nn
0
0 a
ii
0
00
"
0a
nn
Przykład 3
Rozwiązać równanie:
x111
1x11
0
11x1
111x
=
Liczymy wyznacznik:
x111 x 1 0 0 1
1 0 0 1
1x11 0 x 1 0 1
=
=
(x-1)
3
0 1 0 1
=
(x-1) (x+3)
3
⋅
11x1 0 0 x 11
0 0 1 1
111x 1 x1 x1 xx
−−−
1 1 1x+3
Podstawiając do równania otrzymujemy:
(x-1)
3
(x+3)=0
⇔
x=1
∨
x=-3
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
+
+
+
+
nn
nn
Twierdzenie 2
Z: A
m
×
n
, det A
≠
0
T: A – jest macierzą nieosobliwą i
⋅
Gdzie A
D
jest macierzą dopełnień algebraicznych wszystkich elementów
macierzy A
A= (A)
-1
1
detA
D T
A
"
# %#
"
11
A
1n
A=
A
A
n1
nn
Wniosek:
A
n
×
n
– jest macierzą nieosobliwą
⇔
det A
≠
0.
Przykład 4
101
A= -1 1 0
011
101
detA= -1 1 0 1 1 2
011
=+=
- macierz jest nieosobliwa
AAA
A=A A A
AAA
11
12
13
D
21
22
23
31
32
33
A( )
=−
11
+
10
=1
A( )
= −
21
01
−
= −
1
11
11
21
11
A( )
=−
12
+
−
10
=1
A( )
= −
22
11
−
=
1
12
01
22
01
A( )
=−
13
+
−
11
=−1
A( )
= −
23
10
= −
1
13
01
23
01
A( )
=−
31
01
−
=1
31
10
A( )
=−
32
11
−
=
1
32
−
10
A( )
=−
33
10
=
1
33
−
11
Czyli:
11 1
A1 1
111
−
111
−
D
=− −
1
(A )
=
1 1 1
111
−−
−−
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
D
+
+
+
+
+
+
DT
1
−
1
1
2
1
2
2
2
A= (A)
-1
1
D T
=
1
1
2
2
2
−−
1
1
1
2
2
2
Uwaga
Lepiej jest stosować metodę macierzy odwrotnej jako macierzy
odwzorowania odwrotnego.
Czyli:
10 1 x y
-1 1 0 x y
011 x y
1
1
⋅ =
1
2
1
3
x -x y
-x x y
x x y
1
3
=
1
+ =
1
2
2
2
+=
3
3
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
1
=− − +
=
=− −
y
1
y
1
y
1
−
1
1
2
1
2
1
2
2
2
3
2
2
x
1
y +y +y
1
1
Czyli:
A
-1
=
1
1
1
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
x
1
y
1
y +
1
y
−−
1
1
1
3
2
1
2
2
2
3
2
2
2
Def 4.
aa
11
12
"
"
a
1m
aa
a
Z:
A=
21
22
2m
- macierz
nm
×
#
""
Podwyznacznikiem (minorem) macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
utworzonej z macierzy A przez skreślenie w niej pewnej liczby wierszy
(i kolumn) w taki sposób aby otrzymana macierz była kwadratowa.
det B
k
×
k
– minor stopnia k wyjęty z macierzy A.
Np.
a
a
n1
nm
12 146
A= -1 0 2 -1 3
51 141
12 1
-1 0 2
51 1
- minor stopnia 3 wyjęty z macierzy A
Twierdzenie 5
Z: A
n
×
m
– macierz
T: Rząd macierzy A jest równy największemu ze stopni minorów
niezerowych.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
© 2009 Po zniszczeniu przeszłości przyszedł czas na budowanie przyszłości. - Ceske - Sjezdovky .cz. Design downloaded from free website templates