[ Pobierz całość w formacie PDF ]
MACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI.
k
=
{ }
k
Definicja 1.
k
×
j
ij
i nazywamy elementem tej macierzy. Zbiór wartości
zapisujemy w formie:
.Wartość tego odwzorowania na parze (i,j)
oznaczamy a
aa a
aa a
11
12
1
n
21
22
2
n
aa a
k
1
k
2
kn
Ten zbiór utożsamiamy z macierzą.
Elementami macierzy mogą być różne obiekty matematyczne np. liczby,
wielomiany, inne funkcje.
Definicja 2.
aa a a
aa a a
11
12
1
j
1
m
21
22
2
j
2
m
aa a a
i
1
i
2
ij
im
aa a a
k
1
k
2
kj
km
O elementach a
i1
, a
i2
, a
im
mówimy, że tworzą i-ty wiersz macierzy.
O elementach a
1j
, a
2j
, a
nj
mówimy, że tworzą j-tą kolumnę macierzy.
Jeżeli macierz ma k wierszy i m kolumn, to mówimy, że jest to macierz o
wymiarach k
×
m.
PRZYKŁAD 1.
A
=
1123
54 25
−
−
24
×
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 11
Część 6 - Macierze
1,2,...,
Macierzą nazywamy każde odwzorowanie określone na iloczynie
kartezjańskim
Macierze oznaczamy najczęściej dużymi literami
A = [a
ij
] = [a
ij
]
k
×
m
= A
k
×
m
Definicja 3.
a)
Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz A
T
,
powstała z macierzy A przez zamianę jej wierszy na kolumny bez
zmiany ich kolejności.
T
=[b
ij
]
k
×
m
PRZYKŁAD 2.
A
=
1123
54 25
−
−
24
×
15
14
−
A
T
=
22
35
−
b)
Macierz nazywamy macierzą zerową jeżeli wszystkie jej elementy
równe są zero.
Oznaczenie:
c)
Jeżeli ilość wierszy macierzy równa jest ilości jej kolumn, to macierz
taką nazywamy macierzą kwadratową.
0
k
×
m
A
n
×
n
Definicja 4.
A
n
×
n
=[a
ij
]
a)
O elementach a
ii
i=1, 2, ..., n mówimy, że tworzą przekątną główną
macierzy.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 11
Część 6 - Macierze
a
11
. . .
.
a
.
.
22
. .
.
. . .
a
nn
b)
Macierz kwadratową nazywamy macierzą diagonalną, jeżeli wszystkie
jej elementy poza przekątną główną są równe zero.
PRZYKŁAD 3.
100
020
004
−
c)
Macierz jednostkowa to macierz diagonalna, w której wszystkie
elementy na głównej przekątnej są równe jeden.
PRZYKŁAD 4.
100
010
001
I
=
3
d)
Macierz nazywamy trójkątną górną jeżeli wszystkie jej elementy
poniżej głównej przekątnej są równe zero.
PRZYKŁAD 5.
127
023
005
−
Macierz nazywamy trójkątną dolną jeżeli wszystkie jej elementy
powyżej głównej przekątnej są równe zero.
100
720
425
−
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 11
Część 6 - Macierze
PRZYKŁAD 6.
e)
Macierz nazywamy symetryczną jeżeli:
A
T
=A
PRZYKŁAD 7.
12 34
2576
37 4 2
4620
−
−
DZIAŁANIA NA MACIERZACH.
1)
Równość dwóch macierzy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy macierze
mają takie same wymiary i odpowiednie ich elementy są sobie równe.
A = [a
ij
]
k
×
m
B = [b
ij
]
l
×
p
2)
Suma dwóch macierzy – dodając do siebie dwie macierze dodajemy do
siebie odpowiednie elementy.
a
ij
= b
ij
∧
k=l
∧
m=p
A+B=[c
ij
]: c
ij
= a
ij
+ b
ij
3)
Mnożenie macierzy przez liczbę – mnożąc macierz przez liczbę
mnożymy każdy element macierzy przez tę liczbę.
4)
Mnożenie dwóch macierzy
A
n
×
p
[a
ij
]
•
B
p
×
n
[b
ij
]
Jest ono wykonalne tylko wtedy, gdy ilość wierszy macierzy B równa
jest ilości kolumn macierzy A.
A
n
×
p
[a
ij
]
B
p
×
n
[b
ij
]
∑
p
AB C c c a b
=
i
== =
:
ij
ik kj
i
k
1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 11
Część 6 - Macierze
A
k
×
m
[a
ij
] B
l
×
p
[b
ij
]
A = [a
ij
],
α
A =
α
[a
ij
]
ij
aa a a bb b b
aa a a bb b b
11
12
1
j
1
p
11
12
1
j
1
m
21
22
2
j
2
p
21
22
2
j
2
m
i
aa a a bb b b
i
1
2
ij
ip
i
1
i
2
ij
im
aa a a bb b b
n
1
n
2
nj
np
p
1
p
2
pj
pm
b a b
cababab ab
cababab ab
cababab ab
11
= + +
11 11
12 21
13
31
++
...
...
...
...
1
pp
1
12
= + + + +
11 12
12 22
13 32
1
pp
2
22
= + + + +
21 12
22 22
23 32
2
pp
2
34
= + + + +
31 14
32 24
33 34
3
pp
4
cababab ab
ij
= + + + +
i
11
j
i
22
j
i
33
j
...
ip pj
WNIOSEK
Element c
ij
macierzy A
•
B to iloczyn skalarny i-tego wiersza macierzy A
przez j-tą kolumnę macierzy B.
PRZYKŁAD 8.
12
11021
−
-1 3
−
32115
−
−
i
01
=
88
−
1011 1
21
12
2 4
−
−
35
×
32
×
52
×
UWAGA
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, B
•
A może być niewykonalne.
12
-1 3
11021
−
73
01
i
32115 88
−
−
−
≠
21
12
10 1 1 1
2 4
−
−
−
35
×
32
×
52
×
Jeśli jest wykonalne to na ogół AB
≠
BA.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 11
Część 6 - Macierze
i
cababa
73
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
© 2009 Po zniszczeniu przeszłości przyszedł czas na budowanie przyszłości. - Ceske - Sjezdovky .cz. Design downloaded from free website templates