[ Pobierz całość w formacie PDF ]
EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA)
RZECZYWISTA
Definicja 1
( )
\\
n
,,,
+⋅
uxxx
=
(
, ,...,
)
v yy y
=
(
, ,...,
)
12
n
12
n
( )
uv xy x y
/ :
=+++
11
2 2
...
x y
nn
- nazyay iloczynem skalarnym
Możemy go również oznaczać w następujący sposób:
( )
uv uv
/ :
=
D
Definicja 2
JJG
\D
( )
()
n
,
tę przestrzeń wektorową nad ciałem z iloczynem skalarnym
JJG
\
E
oznaczamy i nazywamy euklidesową.
n
Definicja 3
JJG
\
(
, , ,
\\
)
- przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn
n n
+⋅
JJG
n
skalarny
n
Przestrzeń zdefiniowaną z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią
euklidesową i oznaczamy .
\
E
n
Definicja 4
Jeżeli w przestrzeni
E
n
uxxx
=
(, , )
12
n
to związek:
||
u
||:
=
v
( )
u
/
nazywamy
normą
WNIOSEK:
||
u x x
||:
=+++
2
2
2
...
x
1
2
n
Definicja 5
( )
EE
+⋅
, , ,
JJG
xy E
∈
nn
n
to odległością nazywamy:
=
JJG
dx
( )
, : || ||
y xy
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
,
Definicja 5
JJG
- przestrzeń euklidesowa
uv E
,
∈
JJG
n
u
≠ ∧≠
0
v
0
Jeżeli
( )
uv
=
/
0
to mówimy, że wektory są
ortogonalne.
uv
,
GEOMETRIA ANALITYCZNA PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ E
3
Oznaczenie:
JJG
( )
, , ,
- przestrzeń euklidesowa
nn
( )
0,, ,
i j k
- układ współrzędnych przestrzeni afinicznej
i
: 1,0,0
=
( ) ( ) ( )
j
: 0,1,0
k
: 0,0,1
UWAGA:
W przestrzeni E
3
zamiast mówić, że dwa wektory są ortogonalne mówimy,
że są prostopadłe. Zachodzi tam również:
|| || || || || || 1
i
===
i
i j i kkj
j k
⊥⊥ ⊥
UMOWA:
W E
3
przyjmujemy tzw. ortogonalny układ współrzędnych.
z
k
i
j
y
x
Definicja 1
uv E
,
∈
JJG
n
Kątem między wektorami
)
( )
uv
nazywamy mniejszy z 2 kątów jakie one
tworzą jeżeli zaczepimy je w początku układu.
UWAGA:
Dowodzi się, że:
uv u v uv
D
|| || || || cos
)
, stąd
,
cos
)
( )
uv
uv
,
=
uv
|| || || ||
⋅
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
EE
+⋅
=
=
D
=⋅
( )
Definicja 2
uE
∈
JJG
n
Wersorem wektora nazywamy wektor, który ma ten sam kierunek i zwrot
ale długość równą 1.
u
JJJJJJG JJJJJJG
wersu u wersu
G G G
↑↑ ∧
=
1
WNIOSEK:
uxxx
=
[ ]
123
,,
u
≠
1
u
≠
0
JJJJJJG
G
=
xyz
, ,
uuu
UWAGA:
uuuu
=
x yz
, ,
cos
)
()
ui
,
= =
ui
D
u
x
ui u
D
cos
)
( )
uj
,
=
uj
D
=
u
y
u j u
D
cos
)
( )
uk
uk u
,
=
uk
D
=
u
z
D
Definicja 3.
cos
) ) )
() ( ) ( )
ui u j uk
,
cos
,
cos
,
nazyay kosinusai kierunkoyi
WNIOSEK:
JJJJJJG
G
=
cs
) ) )
() ( ) ( )
u i
, , cs
u j uk
, , cs
,
UWAGA:
Wszystkie powyższe definicje i wnioski dotyczą też (odpowiednio)
przestrzeni E
2
.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
wersu
wersu
ORIENTACJA
Orientacja w
JJG
( )
EE
+
, ,
JJG
22
GG GG
( ) ( )
,
'
Dwie pary wektorów liniowo niezależnych zaczepionych w punkcie O, O’
Te 2 pary wektorów nazymamy
równoskrętnymi
jeżeli poprzez
przesunięcie i obrót można doprowadzić do sytuacji, że punkt O pokryje się
z punktem O’, wektory leżą na tej samej prostej i mają ten sam zwrot
a wektory leżą po tej samej stronie tej prostej.
c
GJ
,
a
GG
b
G
d
JG
a
G
c
G
d
JG
b
G
a
G
c
G
2 pary wektorów nazymamy
nierównoskrętnymi
jeżeli poprzez
przesunięcie i obrót można doprowadzić do sytuacji, że punkt O pokryje się
z punktem O’, wektory leżą na tej samej prostej i mają ten sam zwrot a
wektory
c
GJ
,
leżą po dwóch stronach tej prostej.
a
GG
b
G
d
JG
c
G
a
G
b
G
G
c
G
J
a
d
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
ab O cd O
,
,
G
,
G
G
WNIOSEK:
Łatwo zauważyć, że jeżeli ustalimy parę wektorów to pozostałe są do nich
albo równoskrętne albo nierównoskrętne.
Jeżeli ustalimy parę wektorów to mówimy, że nadajemy orientację.
b
G
wektory są liniowo niezależne
ac
O
a
G
Orientacja dodatnia
Mówimy, że orientacja jest dodatnia, jeżeli obracając wektor wokół
punktu O po najkrótszej drodze tak aby pokrył się z prostą zawierającą
poruszamy się niezgodnie z ruchem wskazówek zegara.
a
G
b
G
b
G
O
a
G
Orientacja ujemna
Mówimy, że orientacja jest ujemna, jeżeli obracając wektor wokół punktu
O po najkrótszej drodze tak aby pokrył się z prostą zawierającą
poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
a
b
G
a
G
O
b
G
UWAGA:
II
j
G
I
i
G
III
IV
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
G G
,
G
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
© 2009 Po zniszczeniu przeszłości przyszedł czas na budowanie przyszłości. - Ceske - Sjezdovky .cz. Design downloaded from free website templates