[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. Wirujące wektory
1.1 Pierwsze kroki
Aby uwzględnić zjawisko dyfrakcji i interferencji musimy wzbogacić teorię geometryczną
o dodatkowe parametry i obiekty. Pierwszy dodatkowy parametr będziemy nazywać
długością fali
świetlnej i oznaczać przez grecką literę małe lambda - . Pierwszym nowym
obiektem będzie
wirujący wektor
. Nazwa wirujący wektor jest nazwą roboczą. Później
wirujące wektory będą się nazywały
fazorami
, ale póki co nie chcę Cię straszyć tak okropnie
brzmiącymi nazwami. Z pojęciem długości fali zapewne już się zetknąłeś i wiesz, że opisuje
jedną z podstawowych własności fal. Ja jednak użyję go najpierw do określenia zachowania
wirującego wektora a dopiero potem do charakteryzacji ruchu falowego. Znaczenie parametru
przedstawię za pomocą kilku prostych przykładów.
Zaznaczę jeszcze tylko, że wirujące wektory mają charakter pomocniczy – pomagają
wyobrazić sobie pewne rzeczy. Taka pomoc to rzecz nader użyteczna, nawet dla fachowca.
chociaż w przyszłości okaże się, że nie będziemy musieli używać wirujących wektorów-
wystarczające okaże się pojęcia fali świetlnej; to ze względu na ich użyteczność będziemy się
do nich odwoływać. Teraz przejdę już do przykładów
Niech z punktu źródłowego Z wychodzi promieni świetlny (rys. 1). Każdemu
punktowi promienia świetlnego przypiszemy wektor. Kąt nachylenia tych wektorów,
nazywany również
kątem fazowym
, będzie się zmieniał jednostajnie wraz z ruchem wzdłuż
danego promienia; to znaczy, że idąc wzdłuż wybranego promienia widzimy, że kolejno
mijane wektory są obrócone w taki sposób, że po przejściu równych odcinków zmiana kąta
fazowego mijanych wektorów jest taka sama. Zmiana kąta fazowego niech będzie taka, że po
przejściu odcinka równego długości fali wartość tej zmiany wynosi 2 (rys. 1).
Rysunek 1
. W każdym punkcie promienia wychodzącego z punktu
Z
przypięty jest jeden
wirujący wektor. Kolejne wektory są obrócone względem siebie w taki sposób, że gdy
przechodzimy odcinek o długości
, całkowita zmiana kąta osadzonych wektorów wynosi 2
.
Rysunek (a) pokazuje, że co
wirujące wektory mają ten sam kąt fazowy. Rysunek (b)
pokazuje rozkład wirujących wektorów na wybranym kawałku odcinak z rysunku (a); długość
tego kawałka wynosi
.
Definicja 1. długości fali
D
ł
ługo
ś
ś
ć
ć fali
jest to odcinek, wyznaczony wzd
ł
łu
ż
ż promienia
ś
świetlnego, na d
ł
ługo
ś
ści
kt
ó
órego mijane wiruj
ą
ące wektory zmieniaj
ą
ą sw
ó
ój k
ą
ąt fazowy o k
ą
ąt pe
ł
łny (ca
ł
ły obr
ó
ót).
No dobrze, póki co nasze wirujące wektory wcale nie wirują. Kiedy idziemy wzdłuż
promienia, to może nam się wydawać, że wektory wirują, ale tak naprawdę to mijamy kolejne
nieruchome wektory, przypięte do kolejnych punktów należących do promienia świetlnego.
Trzeba koniecznie coś zrobić, żeby wirujące wektor zasługiwał sobie na swoją nazwę. Inaczej
będzie to jeszcze jedna myląca nazwa w naszym języku. Jeżeli coś wiruje to robi to w czasie.
Spróbujmy pójść tym tropem i dodać do naszych rozważań czas. Zrobimy to tak.
Ustalmy czas po którym każdy wirujący wektor obróci się o pełny kąt jako równy
pewnej wartości T. Teraz wykreślimy przykładowy promień wraz z przynależnymi mu
przyklejonymi wirującymi wektorami. W górnej części rysunku (2) widać taki promień –
powiedzmy w chwili czasu
t
1
=0. Teraz zobaczmy co się stanie w chwili nieco późniejszej
oznaczonej przez
t
2
=
t
1
+
t
(na rysunku (2)
T
). Wszystkie wektory na naszym
promieniu obróciły się o ten sam kąt równy jednej czwartej kąta pełnego. Niech znowu
upłynie taki sam odcinek czasu i w chwili
t
3
=
t
2
+
t
=
t
1
+2
t
wszystkie wektory ponownie
obróciły się o ten sam kąt. W końcu nastanie w chwili
t
1
+
T
wektory obrócą się o kąt pełny,
czyli 2 i cały obrazek powróci do swej wyjściowej postaci. Czas
T
po którym to nastąpi
nazwiemy
okresem fali
.
Definicja 2. Okres fali
Okresem fali nazywamy czas, po kt
ó
órym wiruj
ą
ący wektor, zaczepiony w danym
punkcie obr
ó
óci si
ę
ę o pe
ł
łny k
ą
ąt.
t
4
1
W teorii wirujących wektorów okres fali taką samą rolę jak długość fali , tyle że wzdłuż osi
czasu; co jak ma nadzieję widać z rysunku (2).
Wirujący wektor, jak każdy inny wektor, jest scharakteryzowany przez dwa
parametry: długość (wartość wektora) i kąt orientacji, który będziemy nazywać kątem
fazowym wirującego wektora lub krótka
fazą
wirującego wektora.
Definicja 3. Faza wirującego wektora
Faz
ą
ą wiruj
ą
ącego wektora nazywamy k
ą
ąt jaki ten wektor tworzy z wybran
ą
ą osi
ą
ą
odniesienia
Zagospodarowaliśmy kąt wektora, a co z jego długością? Tak czy inaczej wektory uparcie
mają jakąś długość i trochę szkoda, żeby ten dodatkowy parametr marnował się
bezproduktywnie. Zażądajmy więc aby długość wirującego wektora była powiązana
z natężeniem światła w danym punkcie. Jak się jednak okaże sensowne powiązania nie może
być powiązaniem bezpośrednim; to znaczy długość wirującego wektora nie może być równa
natężeniu światła. Sensowne, czyli również użyteczne powiązanie wygląda tak:
I = | długość wirującego wektora |
2
(1)
A dlaczego właśnie tak – cóż to się okaże w praniu; to znaczy w dalszym toku wykładu.
Rysunek 2.
Przesuwając się wzdłuż linii czasu – linii pionowej - widać obrót wirującego
wektora. Czas w którym wirujący wektor dokona pełnego obrotu nazywamy okresem fali
i oznaczymy literą
T
. Czerwone kropki na rysunku pokazują zmianę położenia wirujących
wektorów o tym samym kącie fazowym. Ściślej, ponieważ wirujące wektory same się nie
przesuwają, czerwona kropka pokazuje wędrówkę wybranego kąta fazowego. Możemy się
zapytać: jak szybko biegnie „wybrany kąt” fazowy. Mówiąc bardziej obrazowo: jak szybko
przesuwa się czerwona kropka. Jak widać z rysunku, w czasie
T
kropka przebywa drogę λ,
zatem jej prędkość wynosi
/T
. W przyszłości wielkość tą nazwiemy prędkością fazową fali.
Zatem, aby obliczyć wartość natężenia światła w danym punkcie, długość wirującego wektora
w tym punkcie należy podnieść do kwadratu. Inaczej jeszcze rzecz ujmując, mając natężenie
światła w danym punkcie możemy obliczyć długość wirującego wektora, która jest równa
pierwiastkowi kwadratowemu z wartości tego natężenia. Pierwiastek kwadratowy z natężenia
światła to nie jest to samo co natężenie światła. Co to zatem jest? Ponieważ w teorii falowej
długość wirującego wektora jest to wielkością podstawową nadamy jej jakąś nazwę. No może
nie będziemy tworzyć własnej nazwy, tylko użyjemy tej, która tej wielkość już dawno została
nadana. Długość wirującego wektora będzie reprezentowała amplitudę fali w danym punkcie.
Zrobimy teraz podsumowanie:
Definicja 4. wirującego wektora (fazora)
Fal
ą
ą
ś
świetln
ą
ą reprezentujemy poprzez przyporz
ą
ądkowanie ka
ż
żdemu punktowi
przestrzeni wektora, nazywanego wiruj
ą
ącym wektorem (p
ó
ó
ź
źniej r
ó
ównie
ż
ż fazorem) ,
kt
ó
óry reprezentuje:
poprzez sw
ą
ą d
ł
ługo
ś
ś
ć
ć amplitud
ę
ę fali w tym punkcie
poprzez k
ą
ąt pod jakim jest zorientowany, k
ą
ąt fazowy fali w tym punkcie
Będę posługiwał się również pojęciem pola wirujących wektorów. Jest ono podobnie
zdefiniowane jak pojęcie pola wektorowego, z tą różnicą, że na naszym polu wektory będą
wirowały.
Definicja 5. Pole wirujących wektorów (fazorów)
Je
ż
żeli w ka
ż
żdym punkcie przestrzeni, lub interesuj
ą
ącej nas jej cz
ę
ę
ś
ści przypi
ę
ęty jest
jeden wiruj
ą
ący wektor (fazor), to takie pole nazywamy polem wiruj
ą
ących wektor
ó
ów
(polem fazor
ó
ów)
I.1.1 Powierzchnia falowa
Możemy teraz wprowadzić ważne pojęcie
powierzchni falowej
. Niech w ustalonej chwili
czasu (zazwyczaj przyjmiemy
t
=0, ale to tylko kwestia wygody) będzie dane pole wirujących
wektorów. Możemy sobie wyobrazić, że przestrzeń jest wypełniona promieniami z jakiegoś
źródła i w każdym swoim punkcie każdy promień świetlny ma przyporządkowany, zgodnie
z opisanymi wyżej zasadami, jeden wirujący wektor. Ale, na dobrą sprawę moglibyśmy
również zapomnieć o tych promieniach i założyć, że po prostu w każdym punkcie przestrzeni
mamy jeden wirujący wektor, który reprezentuje światło w tym punkcie. Przy takim podejściu
promień zaczyna pełnić funkcję pomocniczą. Szukamy teraz tych punktów, w których
wirujące wektory, w wybranej chwili czasu mają ten sam kąt fazowy. Tak się składa, że
punkty takie układają się w powierzchnie, które nazywamy
powierzchniami falowymi
lub
frontami falowymi
.
Definicja 6. frontu falowego (powierzchni falowej)
Zbi
ó
ór punkt
ó
ów w kt
ó
órych wiruj
ą
ące wektory (fazory), w ustalonej chwili czasu, maj
ą
ą
t
ą
ą sam
ą
ą warto
ś
ś
ć
ć k
ą
ąta fazowego nazywamy frontem falowym (powierzchni
ą
ą falow
ą
ą)
danej fali
Jeżeli powierzchnie falowe są płaskie to falę nazywamy
falą płaską
(rys. 3). Dla fali płaskiej
rozchodzącej się w jednorodnym środowisku powierzchnie falowe (czyli powierzchnie na
których wirujące wektory mają tą samą fazę) są oddalone od siebie o (rys. 3 i 4). Fali takiej
odpowiada układ promieni równoległych, co pokazuje rysunek 4.
Definicja 7. fali płaskiej
Fala p
ł
łaska to taka fala dla kt
ó
órej powierzchnia falowa jest zbiorem wzajemnie
r
ó
ównoleg
ł
łych p
ł
łaszczyznach oddalonych o
Rysunek 3
. W ustalonej chwili czasu wybieramy te punkty w których faza wirujących wektorów
jest taka sama. W szczególnym przypadku punkty, te tworzą w dwuwymiarowym przekroju linię
– na rysunku jest to linia czerwona. W trójwymiarowym przypadku byłaby to płaszczyzna, w tym
przykładzie prostopadła do powierzchni rysunku. Przypadek (a) różni się od przypadku (b)
rozłożeniem wirujących wektorów, przez co linie równej fazy (powierzchnie równej fazy) są
inaczej zorientowane. Ponieważ odległość – wzdłuż promienia – pomiędzy wektorami o tej
samej fazie nazwaliśmy długością fali
, sąsiednie powierzchnie falowe są oddalone od siebie
o
. Musimy tylko wiedzieć, która z możliwych linii łączących sąsiednie powierzchnie falowe
jest promieniem świetlnym. Spośród możliwych linii łączących obie powierzchnie płaskie
promieniami są te o najmniejszej długości. Na rysunku (b) jest to linia granatowa. W ośrodku
o jednorodnym współczynniku załamania linie o najmniejszej długości są liniami prostopadłymi
do dwóch sąsiednich powierzchni falowych. Nawiasem mówiąc taki wybór promienia jest
zgodny z geometryczną definicją odległości pomiędzy płaszczyznami.
Rysunek 4
. Fala płaska w przedstawieniu trójwymiarowym. Powierzchnie płaskie, na których
wirujące wektory mają tą samą orientację są od siebie oddalone o
Rysunek (3) ujawnia pewien problem z określeniem promienia świetlnego w stosunku do
powierzchni falowej. Na rysunku (3b) zaznaczone są układy linii zielonych (narysowanych
przerywaną kreską). Jeżeli idziemy wzdłuż jednej tych linii od jednej powierzchni falowej do
sąsiedniej, to faza kolejno mijanych wirujących wektorów zmienia się o 2π. Jeżeli linie
zielone reprezentują promienie świetlne to zgodnie z definicją (1) odcinek mierzony wzdłuż
tych linii od jednej powierzchni falowej do sąsiedniej ma długość równą długości naszej fali
świetlnej. Zauważ, że kiedy będziemy się poruszali wzdłuż linii granatowej od jednej
powierzchni falowej do sąsiedniej, to kolejno mijane wirujące wektory również zmienią
swoją fazę o 2. Ale odcinek linii granatowej wyznaczony przez dwie sąsiednie powierzchnie
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
© 2009 Po zniszczeniu przeszłości przyszedł czas na budowanie przyszłości. - Ceske - Sjezdovky .cz. Design downloaded from free website templates