[ Pobierz całość w formacie PDF ]
3. Kinematyka ruchu jednostajnego, zmiennego, jednostajnie zmiennego,
rzuty.
Wybór i opracowanie zadań 3.1-3.22: Barbara Kościelska, zadań 3.23-3.25: Ryszard J.
Barczyński
3.1.
Zależność drogi przebytej
przez punkt materialny od czasu można opisać równaniem:
x(t)
=
A
t +
B
t
2
+
C
t
3
, gdzie A, B i C
są wielkościami stałymi wyrażonymi w odpowiednich
jednostkach. Znaleźć zależność prędkości i przyspieszenia tego punktu od czasu.
3.2.
*
Rakieta ustawiona jest na wysokości
h
nad powierzchnią ziemi. Po starcie porusza się
pionowo w górę, a jej przyspieszenie zmienia się zgodnie z zależnością
a
= k
t
2
, gdzie k jest
stałą wyrażoną w odpowiednich jednostkach. Znaleźć zależność prędkości oraz drogi rakiety
od czasu.
3.3.
Prom kursuje pomiędzy punktami A i B leżącymi na
przeciwległych brzegach rzeki. Odległość między punktami
A i B wynosi
d
, a linia AB tworzy kąt α z brzegiem rzeki.
Prędkość
v
1
wody w rzece jest stała na całej szerokości
rzeki. Jakie powinny być wartość i kierunek prędkości
v
2
promu względem wody, aby przebył on drogę
d
w czasie
t
?
3.4.
*
Prędkość wody w rzece zmienia się wraz z
szerokością rzeki według równania:
v
= 4
x
2
+ 4
x
+ 0,5 [
m/s
], gdzie
x
=
a/b
(
a
jest odległością
od brzegu a
b
szerokością rzeki). O jaki odcinek prąd wody w rzece zniesie łódkę przy
przeprawie na drugi brzeg, jeżeli prędkość
v
l
łódki względem wody jest stała i ma kierunek
prostopadły do brzegu rzeki. szerokość rzeki wynosi
d
.
3.5.
Znaleźć czas przelotu samolotu między dwoma punktami
odległymi od siebie o
L
, jeżeli prędkość samolotu względem
powietrza wynosi
v
1
,
a prędkość przeciwnego wiatru
skierowanego pod kątem
α
względem kierunku ruchu samolotu
wynosi
v
2
.
3.6.
Ciało rzucono pod kątem α do poziomu nadając mu prędkość
v
0
. (a) Napisać
kinematyczne równania ruchu ciała. (b) Napisać równania toru ciała. (c) obliczyć czas lotu
ciała. (d) Obliczyć zasięg rzutu. (e) Znaleźć maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się
ciało.
3.7.
Na jakiej wysokości wektor prędkości ciała wyrzuconego z prędkością początkową
v
0
pod kątem
α
do poziomu, utworzy kąt
β
(α>β) ? Nie uwzględniać oporu powietrza. Napisać
kinematyczne równania ruchu ciała.
3.8.
Z jaką prędkością poziomą
v
1
powinien lecieć lotnik na wysokości
h
nad torami, w chwili
gdy przelatuje on nad punktem A, aby puszczony przez niego ładunek trafił w uciekający z
prędkością
v
2
pociąg, który znajduje się w odległości
d
od A (samolot i pociąg poruszają się w
tym samym kierunku)?
3.9.
Dwa ciała wyrzucono jednocześnie z dwóch różnych punktów. Jedno ciało zostało
rzucone poziomo z prędkością
v
0x
z wieży o wysokości
h
, drugie wyrzucono pionowo z
prędkością
v
0y
z miejsca odległego o
x
0
od podnóża wieży. Jaka powinna być prędkość
v
0y
,
aby ciała zderzyły się w powietrzu?
3.10.
Ciało spada swobodnie z wieży. W chwili, gdy przebyło ono drogę równą
L
, z punktu
położonego o
h
metrów niżej od wierzchołka wieży zaczyna spadać drugie ciało. Oba ciała
spadają na ziemię w tej samej chwili. Znaleźć wysokość wieży.
3.11.
Z samolotu lecącego na wysokości
h
ze stałą prędkością poziomą
v
zostaje zrzucona
bomba. Napisać równania ruchu, prędkości i przyspieszenia bomby względem obserwatora
stojącego na ziemi oraz względem pilota samolotu.
3.12.
W wagonie pociągu jadącego ze stałą prędkością
v
, jeden z pasażerów upuścił z
wysokości h względem podłogi wagonu pudełko zapałek. Napisać równanie toru tego
pudełka, w układzie odniesienia związanym z: (a) wagonem, (b) szynami.
3.13.
Koło zamachowe wykonujące
n
0
= 240 obr/min zatrzymuje się w czasie
t
1
= 0,5 min.
Przyjmując, że ruch jest jednostajnie zmienny obliczyć, ile obrotów koło wykonało do chwili
zatrzymania się.
3.14.
Równania ruchu punktu znajdującego się na obwodzie koła toczącego się bez poślizgu
wzdłuż osi
x
mają postać:
=
R
sin
t
+
ω
R
y
=
R
cos
ω
t
+
R
.
Oblicz prędkość i przyspieszenie punktu na obwodzie w chwili, gdy współrzędna
y
ma
wartość (a) minimalną, (b) maksymalną, (c)
y = y
max
/
2
.
3.15.
Obręcz o promieniu R toczy się bez poślizgu po prostej.
Prędkość środka O obręczy jest stała i wynosi
v
0
. Oblicz wartości
oraz wskaż kierunki i zwroty chwilowych prędkości i przyspieszeń
tych punktów tarcz, które w rozważanej chwili znajdują się w
punktach oznaczonych literami A, B i C.
3.16.
Obręcz o promieniu R toczy się bez poślizgu po prostej.
Przyspieszenie środka O obręczy jest stałe i wynosi
a
0
. Oblicz
wartości oraz wskaż kierunki i zwroty chwilowych przyspieszeń
tych punktów tarcz, które w rozważanej chwili znajdują się w
punktach oznaczonych literami A, B i C.
x
ω
3.17.
Koniec liny (A) przesuwa się ze stałą prędkością
v
skierowaną w prawo. Lina nawinięta jest na układ
współśrodkowych, kołowych tarcz pokazanych na rysunku
(promień małego koła =
r
, dużego =
R
). Oblicz wartości
oraz wskaż kierunki i zwroty chwilowych prędkości i
przyspieszeń tych punktów tarcz, które w rozważanej
chwili znajdują się w punktach oznaczonych literami B, C,
D, E i F.
3.18.
Na szpulę o promieniach
R
i
r
nawinięto linę, której
koniec A ma stałą prędkość
u
. Obliczyć, jaką drogę
S
B
przebędzie koniec A liny, gdy odcinek AB liny nawinie się
na szpulę.
3.19.
Koło obraca się wokół swojej osi. Znaleźć jego przyspieszenie kątowe jeżeli wiadomo,
że po upływie czasu
t
od rozpoczęcia ruchu jednostajnie przyspieszonego, wektor
całkowitego przyspieszenia punktu położonego na obwodzie tworzy kąt α z kierunkiem
prędkości liniowej tego punktu.
3.20.
Punkt materialny zaczyna poruszać się po okręgu z przyspieszeniem stycznym
a
s
.
Znaleźć jego wypadkowe przyspieszenie
a
w
po
u
= 0,1 obrotu.
3.21.
*
Taśma magnetofonowa jest przewijana z drugiej szpulki na pierwszą, która obraca się
ze stała prędkością kątową ω
1
. W chwili początkowej promienie krążków nawiniętej taśmy
były odpowiednio równe
R
01
i
R
02
. grubość taśmy wynosi
a
. Znaleźć: (a)zależność długości
nawiniętej taśmy od czasu, (b) zależność prędkości przesuwu taśmy od czasu.
3.22.
Ciało rzucono z pewnej wysokości z prędkością
v
0
w kierunku poziomym. Obliczyć
jego prędkość, przyspieszenie styczne i normalne oraz promień krzywizny toru po czasie
t
.
Opory powietrza pominąć.
3.23.
Narciarz na nartach wodnych porusza się częstokroć znacznie szybciej niż ciągnąca go
motorówka. Jak to jest możliwe?
3.24.
System napędu samochodu posiada w torze przeniesienia napędu tak zwany mechanizm
różnicowy, który pozwala obracać się kołom samochodu z różną prędkością. Dlaczego jest to
konieczne?
3.25.
Ciało porusza się wzdłuż osi x według zależności
x=A
sin
(
ω
t
), gdzie
A
i ω są
wielkościami stałymi. Narysuj wykresy położenia, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu.
Jakie są maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia?
Rozwiązania:
3.1.R.
Korzystając z definicji prędkości chwilowej oraz przyspieszenia chwilowego
otrzymamy następujące równania opisujące zależność prędkości
v
i przyspieszenia
a
od
czasu:
v
=
dx
=
A
+
2
Bt
+
3
Ct
2
,
dt
oraz
dv
a
=
=
2
B
+
6
Ct
.
dt
3.2.R.
*
Przyspieszenie rakiety dane jest równaniem:
(
a
=
kt
2
.
Przyspieszenie chwilowe:
(
2
a
=
dv
.
dt
Z (1) i (2):
dv
=
kt
2
,
dt
dv
=
kt
2
dt
,
(
v
=
∫
kt
2
dt
=
1
kt
3
+
C
,
3
1
gdzie C
1
jest stałą. Wiadomo, że w chwili czasu
t
= 0,
v
= 0. Po podstawieniu tych wartości do
równania (3) otrzymamy stałą C
1
= 0, czyli zależność prędkości rakiety od czasu:
1
(
4
v
=
kt
3
.
3
Prędkość chwilowa:
ds
(
v
=
.
dt
Z (4) i (5):
ds
=
1
kt
3
,
dt
3
1
ds
=
kt
3
dt
,
3
(
6
s
=
∫
1
kt
3
dt
=
1
kt
4
+
C
,
3
12
2
gdzie C
2
jest stałą. Wiadomo, że w chwili czasu
t
= 0 rakieta znajdowała się na wysokości
h
nad powierzchnią ziemi, czyli
s
=
h
. Podstawiając te wartości do równania (6) otrzymamy
stałą C
2
=
h
, czyli zależność drogi przebytej przez rakietę od czasu:
s
+
=
h
1
kt
4
.
12
3.3.R.
Prędkość
v
promu względem brzegu jest wypadkową
prędkości
v
1
wody w rzece i prędkości
v
2
promu względem
wody.
Wektor prędkości
v
2
można rozłożyć na dwie składowe:
równoległą (
v'
2
) i prostopadłą do brzegu rzeki (
v''
2
).
Wartości tych składowych można zapisać:
r
=
r
+
r
.
1
2
(1)
v
'
2
=
v
cos
α
−
v
,
v
'
'
=
v
sin
α
.
2
Wiadomo, iż prom musi pokonać drogę
d
w czasie
t
, czyli
jego prędkość
v
:
v
=
d
.
t
Równania (1) przybiorą wówczas postać:
d
v
'
=
cos
α
−
v
,
2
t
1
v
'
'
=
d
sin
α
.
2
t
Z rysunku wynika, że:
v
=
v
'
2
2
+
v
'
'
2
2
=
(
d
cos
α
−
v
)
2
+
(
d
sin
α
)
2
.
2
t
1
t
Kierunek wektora prędkości
v
2
znajdujemy znajdując wartość kąta β:
tan
β
=
v
'
'
2
=
d
sin
α
.
v
'
d
cos
α
−
v
t
2
1
3.4.R.
*
Odcinek
s
o jaki prąd wody w rzece zniesie łódkę w czasie
t
1
jej przeprawy na drugą
stronę rzeki:
(
s
=
t
∫
1
v
dt
,
0
gdzie:
v
=
4
x
2
+
4
x
+
0
,
x
=
a
/
b
.
Czas przeprawy można zdefiniować jako:
v
v
v
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
© 2009 Po zniszczeniu przeszłości przyszedł czas na budowanie przyszłości. - Ceske - Sjezdovky .cz. Design downloaded from free website templates