[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WIELOMIANY
Poziom podstawowy
Zadanie 1
(5 pkt.)
Liczba –7 jest miejscem zerowym W(x). Wyznacz reszt z dzielenia tego wielomianu przez
wielomian
P
(
x
)
= x
x
2
5
-
14
, je#li wiadomo, $e w wyniku dzielenia wielomianu W(x)
przez dwumian
(
-x otrzymujemy reszt 18.
2
)
Zadanie 2
(4 pkt.)
Miejsce zerowe funkcji
f
(
x
)
=
x
3
-
3
x
+
2
mo$emy obliczy* nastpuj+co:
x
3
- x
3
+
2
=
0
x
3
- x
x
2
+
2
=
0
x
( )
( )
x
2
-
1
-
2
x
-
1
=
0
x
( ) ( [ ]
0
( )( ) ( )
x
-
1
x
+
1
-
2
x
-
1
=
0
x
( )
( )
0
-
1
x
x
+
1
-
2
=
x
-
1
x
2
+
x
-
2
=
x .
Miejscami zerowymi funkcji s+ liczby –2 oraz 1.
=
1
lub
x
=
-
2
lub
x
=
1
Postpuj+c podobnie, oblicz miejsca zerowe funkcji
g
(
x
)
=
x
3
-
7
x
+
6
.
Zadanie 3
(8 pkt.)
Wiedz+c, $e wielomian
W
(
x
)
=
-
x
3
+
( ) ( )
a
+
1
x
2
+
8
a
-
3
x
-
15
jest podzielny przez dwumian
-x wyznacz:
a)
warto#* parametru a,
b)
rozkład wielomianu na czynniki liniowe,
c)
zbiór rozwi+za2 nierówno#ci
xW .
(
)
<
0
x , a nastpnie wska$ najmniejsz+ liczb całkowit+
spełniaj+c+ t nierówno#* (o ile taka istnieje).
3
+
2
x
2
4
x
+
8
Zadanie 5
(2 pkt.)
Rozwi+$ równanie
x
4
-
3
x
3
-
x
+
3
=
0
.
Zadanie 6
(3 pkt.)
Wyznacz współczynniki a i b tak, aby wielomian
W
(
x
)
=
x
4
-
3
x
3
+
ax
2
+
bx
+
a
był
podzielny przez
2
x .
1
x
rozkładaj+c jego lew+ stron na czynniki metod+
grupowania wyrazów i wył+czania wspólnego czynnika przed nawias.
3
- x
2
x
2
-
2
=
0
(
1
Zadanie 4
(4 pkt.)
Rozwi+$ nierówno#*
Zadanie 7
(2 pkt.)
Rozwi+$ równanie
Zadanie 8
(3 pkt.)
Sprawd5, czy
=x jest pierwiastkiem wielomianu
-
1
W
(
x
)
=
x
3
-
4
x
2
+
x
+
6
je#li tak, to
1
wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
Zadanie 9
(5 pkt. )
Aby rozło$y* wielomian
W
(
x
)
=
x
3
+
x
2
+
6
x
+
36
,
na czynniki mo$emy post+pi*
= .
2.
Zapisujemy wielomian W(x) w postaci
36
27
+
9
=
3
3
+
3
2
W
(
x
)
=
x
3
+
3
3
+
x
2
+
6
x
+
3
2
.
3.
Poniewa$
x
3
+
3
3
=
(
x
+
3
)(
x
2
-
3
x
+
9
)
oraz
x
2
+
6
x
+
9
=
(
x
+
3
2
, wic
)
W
4.
Wyró$nik trójmianu
(
x
)
=
(
x
+
3
)(
x
2
-
3
x
+
9
)
+
(
x
+
3
2
=
(
x
+
3
)(
x
2
-
3
x
+
9
+
x
+
3
=
(
x
+
3
)(
x
2
-
2
x
+
12
- xx to
2
2
+
12
D
=
(
-
2
)
2
-
4
µ
12
=
4
-
48
,
D
<
0
. St+d
- xx nie rozkłada si na czynniki.
2
2
+
12
5.
(
x
+
3
)(
x
2
-
2
x
+
12
)
stanowi ostateczny rozkład wielomianu W(x) na czynniki.
Stosuj+c analogiczne przekształcenia, rozłó$ na czynniki wielomian
.
(
x
)
=
x
3
+
x
2
+
10
x
+
150
Zadanie 10
(4 pkt.)
Ustal, czy midzy zbiorami A i B zachodzi zale$no#*
BA ª
ª ,
B
A
czy B
A = , je#li:
A
=
{
x
¬
R
:
x
2
-
1
=
0
} {
,
B
=
x
¬
R
:
x
3
-
4
x
2
-
x
+
4
=
0
.
Zadanie 11
(6 pkt.)
Dany
jest
wielomian W(x).
Wyznacz
zbiory:
A
=
{
x
¬
R
:
W
(
x
)
=
0
} {
,
B
=
x
¬
R
:
W
(
x
)
Ï
0
} {
,
C
=
x
¬
R
:
W
(
x
)
0
,
je#li
W
(
x
)
=
-
x
4
+
7
x
2
-
12
.
Zadanie 12
(5 pkt.)
Wyznacz dziedzin funkcji
f
(
x
)
=
1
.
-
x
3
+
6
x
2
-
11
x
+
6
Zadanie 13
(6 pkt.)
x
3
-
2
x
2
-
x
+
2
Wyznacz dziedzin i miejsca zerowe funkcji
f
(
x
)
=
.
x
2
-
7
x
+
6
w nastpuj+cy sposób:
1.
Zauwa$my, $e
W
Poziom rozszerzony
Zadanie 1
(6 pkt.)
Wyznacz
warto#ci a, b, c,
tak
aby
wielomiany
W
(
x
)
=
a
(
x
-
1
)(
x
+
1
+
b
(
x
-
2
)(
x
+
2
)
+
c
(
x
-
1
)(
x
+
2
)
i
P
(
x
)
=
3
x
2
+
x
-
7
były równe.
Zadanie 2
(7 pkt.)
Wielomian
W(x)
jest
stopnia
trzeciego.
Wiadomo,
$e
W
( ) ( ) ( ) ( )
0
=
-
1
W
-
1
=
-
5
W
2
=
1
W
1
=
-
1
. Wyznacz wielomian
W(x)
.
Zadanie 3
(8 pkt.)
Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem
W
(
x
)
=
x
4
+
ax
3
+
bx
2
+
20
x
-
4
.
Wyznacz a i b.
Dla wyznaczonych a i b rozłó$ ten wielomian na czynniki.
x daje odpowiednio reszty 1, 2, 3.
Wyznacz reszt z dzielenia wielomianu W(x) przez iloczyn
( )( )(
3
-
1
x
-
2
x
-
3
x
- x
1
x
2
-
.
Zadanie 5
(3 pkt.)
Dany jest wielomian
W
(
x
)
=
x
4
-
(
k
-
1
)(
k
+
1
x
3
+
(
k
+
1
2
x
2
-
3
k
-
1
x
-
5
.
Dla jakich k
reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian 1
-x wynosi 2?
Zadanie 6
(3 pkt.)
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian Q okre#lony wzorem
1
(
x
)
=
x
4
+
x
3
-
x
-
wynosi
x
3
+
x
2
+
x
+
2
. Wyznacz reszt z dzielenia wielomianu W(x)
przez
2
x .
1
Zadanie 4
(8 pkt.)
Wielomian W(x) przy dzieleniu przez
Q
SCHEMAT PUNKTOWANIA – WIELOMIANY
Poziom podstawowy
Numer
zadania
Etapy rozwi1zania zadania
Liczba
punktów
Zapisanie warunków zadania:
Ê
W
(
-
7
)
=
0
.
2
W
(
2
=
18
1
Okre#lenie jakiej postaci jest reszta:
R
(
x
)
=
ax
+
b
1
Uło$enie układu równa2 i jego rozwi+zanie:
Ê
-
7
a
+
b
=
0
,
2
a
+
b
=
18
2
a
= b
2 =
14
.
Doprowadzenie do postaci:
x
3
-
x
-
6
x
+
6
=
0
.
1
Sprowadzenie równania do postaci iloczynowej:
0
2
(
x
-
1
)(
x
2
+
x
-
6
)
=
.
1
Wyznaczenie miejsc zerowych: -3, 1, 2.
2
Obliczenie
W
( -
= a
9
18
.
1
Wyznaczenie a:
W
(
=
0
¼
a
=
2
.
1
Zapisanie wielomianu
W
(
x
)
=
-
x
3
+
3
x
2
+
13
x
-
15
.
1
Wykonanie dzielenia
-
x
3
+
3
x
2
+
13
x
-
15
:
(
1
x
-
,
3
1
-
x .
+
2
x
+
15
Znalezienie pierwiastków trójmianu kwadratowego: -3, 5.
1
Rozło$enie W(x) na czynniki:
W
(
x
)
=
-
( )( )(
3
x
-
5
x
-
1
x
+
.
1
Podanie zbioru rozwi+za2 nierówno#ci:
x
¬
( ) ( )
-
3
-
1
¦
5
+
.
2
Przekształcenie nierówno#ci do postaci
(
x
+
2
)
2
(
x
-
2
)
0
.
1
4
Odczytanie miejsc zerowych: -2, 2.
1
{
2
Podanie zbioru rozwi+za2 nierówno#ci:
x
¬
2
+
¦
-
.
2
5
Doprowadzenie równania do postaci iloczynowej:
( )
( )
0
x
-
3
x
3
-
1
=
.
1
Podanie rozwi+za2 równania: 1, 3.
1
Zapisanie warunków:
W
(
=
0
·
W
(
-
1
=
0
.
1
6
Zapisanie układu równa2:
Ê
2
a
+
b
-
2
=
0
.
1
2
a
-
b
+
4
=
0
Rozwi+zanie układu równa2:
a
=
0
5
b
=
3
.
1
7
Doprowadzenie równania do postaci iloczynowej:
( )
( )
0
x
-
2
x
2
+
1
=
.
1
Podanie rozwi+za2 równania: 2.
1
Sprawdzenie, czy liczba –1 jest pierwiastkiem wielomianu; tak .
1
Wykonanie dzielenia
(
x
3
-
4
x
2
+
x
+
6
)
:
(
1
x
+
. Odp.:
x .
2
-
x
5
+
6
1
8
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego, które s+
pozostałymi pierwiastkami W(x): 2, 3.
1
2
Numer
zadania
Etapy rozwi1zania zadania
Liczba
punktów
Zauwa$enie, $e
150
=
5
3
+
5
2
.
1
Zapisanie W(x) w postaci
W
(
x
)
=
x
3
+
5
3
+
10
x
+
5
2
.
1
9
Doprowadzenie równania do postaci:
( )
( )
x
+
5
x
2
-
4
x
+
30
.
1
Obliczenie wyró$nika trójmianu kwadratowego, D < 0.
1
Stwierdzenie, $e rozkład W(x) na czynniki to
( )
( )
W
(
x
)
=
x
+
5
x
2
-
4
x
+
30
.
1
Wyznaczenie zbioru A: -1, 1.
1
10
Wyznaczenie zbioru B: -1, 1, 4.
2
Podanie odpowiedzi: B
Aª
.
1
Zapisanie warunku
x .
2
= t
t
,
0
1
Zapisanie i rozwi+zanie równania
-
t
2
+
7
t
-
12
=
0
Odp.: 3, 4.
1
Wyznaczenie zbioru
{ }
A
=
-
3 -
,
2
2
3
.
1
11
Narysowanie wykresu wielomianu.
1
Wyznaczenie zbioru B:
x
¬
( ) ( )
-
2
-
3
¦
3
2
.
1
Wyznaczenie zbioru C:
x
¬
(
-
,
-
2
¦
-
3
,
3
¦
2
+
)
.
1
Zapisanie warunku:
-
x
3
+
6
x
2
-
11
x
+
6
>
0
.
1
Znalezienie jednego z pierwiastków całkowitych: 1, 2, 3.
1
Wykonanie dzielenia wielomianu przez
(
1
x lub
( )
-
x lub
-
2
1
12
x .
-
Znalezienie pierwiastków: 1, 2, 3.
1
Sporz+dzenie wykresu wielomianu i podanie odpowiedzi
( ) ( )
D
f
:
x
¬
-
,
¦
2
.
1
Zapisanie warunku
:
x
2
- x
7
+
6
0
.
1
Zapisanie dziedziny funkcji:
D
f
:
x
¬R
-
{
1
.
1
Zapisanie równania
x
3
-
2
x
2
-
x
+
2
=
0
.
1
13
Rozło$enie wielomianu na czynniki
( )( )( )
x
-
1
x
+
1
x
-
2
=
0
.
1
Wyznaczenie pierwiastków wielomianu: -1, 1, 2.
1
Okre#lenie miejsc zerowych funkcji: { -1, 2 }.
(
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
© 2009 Po zniszczeniu przeszłości przyszedł czas na budowanie przyszłości. - Ceske - Sjezdovky .cz. Design downloaded from free website templates