wykl 3

wykl 3, Obwody i sygnały

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
TransformacjaLaplace’a
1.Sygnałyprzyczynowe
Zajmowa´csi˛eb˛edziemysygnałamiowła´sciwo´sci
x(t)=0dlat<0, (1)
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
1
2.DenicjatransformacjiLaplace’a
3.TransformataLaplace’a
x(t)
,nazywamy
Transformacj˛aLaplace’asygnałux(t),oznaczan˛asymbolemL
Wynikoperacji
L
x(t)
nazywamytransformat˛aLaplace’asygnałux(t).
operacj˛eokre´slon˛awzorem
1
Z
TransformataLaplace’ajestfunkcj˛azmiennejzespolonejs.
x(t)
=X(s).
x(t)
=
L
x()e
−s
d, (2)
Stosowa´cb˛edziemyoznaczenie
L
0
" #
Zapisywa´cb˛edziemy:
przyczym
s=+j!jestliczb˛azespolon˛a,
1
Z
X(s)=
x()e
−s
d (3)
ax(t)funkcj˛aczasu,równ˛azerudlaczasówujemnych(x(t)=0dlat<0).
0
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
4.Warunkiistnieniatransformaty
5.Transformata1(t)
Wykorzystamywzórdenicyjnyizale˙zno´scix(t)=1(t)orazs=+j!
1.Sygnałx(t)jestprzyczynowy.
1(t)
=
1
Z
1
Z
s
e
−st
1
e
−s
d=−
a
2.Ka
˙
zdyprzedziałczasu,zdziedzinyfunkcjix(t),mo
˙
znapodzieli´cnasko´nczon˛a
liczb˛epodprzedziałów,wktórychx(t)jestmonotoniczna(czylinierosn˛acalub
niemalej˛aca).
L
x()e
−s
d=
0
0
0
orazs=+j!.
3.Wka
˙
zdymprzedzialeczasu,zdziedzinyfunkcjix(t),x(t)jestci˛agła,zwyj˛at-
kiemsko´nczonejliczbypunktównieci˛agło´scipierwszegorodzaju,cooznacza,
˙zewka˙zdympunkcienieci˛agło´scimusz˛aistnie´cgranicelewostronnaiprawo-
stronna.
a·1(t)
=lim
t!1
−
1
s
dla<0
1
"
z}|{
e
−t
|{z}
#
0
dla>0
−
1
4.x(t)ro´sniewolniejni
˙
zfunkcjawykładnicza:
L
e
−j!t
|{z}
−lim
t!0
s
e
−st
|{z}
#
1
(4)
|x(t)|
Me
t
przyodpowiednich,dowolnych,rzeczywistychMi.
|
e
−t
=1
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
2
6.Transformata1(t)
7.Obszarzbie˙zno´scitransformaty1(t)
dla<0
1
"
Im
s
= jω
−
1
s
z}|{
e
−t
|{z}
#
0
dla>0
L
1(t)
=lim
t!1
e
−j!t
|{z}
−lim
t!0
−
1
s
e
−st
|{z}
#
1
(5)
σ<0
σ>0
|
|
e
−t
=1
Re
s
= σ
" #
nie istnieje
istnieje
Transformata
L
1(t)
Transformata
L
1(t)
1(t)
=
−
1
s
dla>0
L
1dla<0,czylitransformatanieistnieje
(6)
σ
a
= 0
1(t)
.
Punkt
a
=0nazywamyodci˛et˛azbie˙zno´scitransformatyL
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
|
8.Kiedyfunkcjajesttransformowalna?
Wogólnymprzypadkucałkamo
˙
zeby´c
•zbie
˙
znadlaka
˙
zdegos,
•zbie
˙
znadlaniektórychs,
9.WzórRimmana-Melina
Je˙zelifunkcjax(t)
jestbezwzgl˛ednietransformowalna(
a
<1)
orazwka
˙
zdymprzedziale<0,T>,T>0,maograniczon˛azmienno´s´c,
•niezbie
˙
znadlaka
˙
zdegos.
Funkcjax(t)jesttransformowalnaje˙zeliistniejeniepustyzbiórpunktóws,wktó-
rychcałkaLaplace’ajestzbie
˙
zna.
todladowolnejustalonejwarto´sci
c
>
a
it>0zachodzi
−1
X(s)
=
1
2j
c
+j1
x(t)=
L
X(s)e
st
ds. (8)
c
−j1
Zatemprzyjmujemy:
L
s
. (7)
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
10.Podstawienies=
c
+j!
Drogacałkowanianapłaszczy´zniezespolonejjestwyznaczonaprzez
11.Drogacałkowania
Z
−1
X(s)
=
1
2j
c
+j1
s=
c
+j!przy
c
=constoraz!2(−
1
,+
1
)
x(t)=
L
X(s)e
st
ds. (10)
c
−j1
c
+j
1
x(t)=
1
2j
Im
X(
c
+j!)e
(
c
+j!)t
d(
c
+j!). (9)
s
= jω
c
−j
1
σ<σ
a
σ>σ
a
σ
c
σ
a
Re
s
= σ
L
e
at
·
1(t)
nie istnieje
L
e
at
·
1(t)
istnieje
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
Z
1(t)
=
1
3
Z
12.Interpretacja
|
X(s)
|
i\X(s)
13.Sinusoidytłumioneinarastaj˛ace
Wykorzystamynow˛a,otrzyman˛awwynikuprzekształce´n,posta´cwzorunax(t):
1
1
Z
t
|X|e
c
t
cos
!t+\X
d!gdzies=
c
+j!.(11)
x(t)=
1
2
−1
−1
Sinusoida o amplitudzie tłumionej wykładniczo
x
(t) = e
−0,2t
Wzórwskazuje,˙zex(t),przyustalonym,mo˙znarozło˙zy´cna
niesko´nczeniewielekosinusoidoamplitudziezmiennejwykładniczo
cos
(200 t)
opulsacjach!2(−1,1),
amplitudzie
d!
|X|(!)—okre´slaamplitudyskładowych
kosinusoidwchwilit=0,
1
t
2
|X|e
c
t
,malej˛a-
cejwczasiezestał˛atłumienia
c
,
ifaziepocz˛atkowej\X.
\X(!)—wyznaczafaz˛epocz˛atkow˛a.
−1
Sinusoida o amplitudzie narastajacej wykładniczo
x
(t) = e
0,2t
cos
(200 t)
1
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
4
14.Jednoznaczno
´
s
´
c
przyporz˛adkowania
15.Transformatae
at
·1(t)
Wyznaczymytransformat˛ee
at
·1(t),przyczymuwzgl˛ednimy,˙zeajestliczb˛aze-
spolon˛aa=+j,
x(t)
przyporz˛adkowujejednoznaczniefunkcjix(t)transformat˛eX(s).
OperacjaL
1
e
at
·1(t)
=
1
Z
1
Z
e
(a−s)t
dt=
1
a−s
e
(a−s)t
1
0
x(t)!X(s)
L
e
at
e
−st
dt=
=
" #
=
1
a−s
e
t
e
jt
e
−t
e
−j!t
1
0
0
0
=
1
e
(−)t
e
j(−!)t
1
Dwiefunkcjex
1
(t)ix
2
(t)s˛arówneprawiewsz˛edzie,gdyró
˙
zni˛asi˛ewył˛aczniew
sko´nczonejliczbiepunktówt
1
,t
2
,...,t
n
a−s
0
=
8
>
>
<
s−a
dlaRe
a
<Re
s
1dlaRe
a
>Re
s
a−s
=
1
=
(12)
>
>
:
−1
X(s)
jestjednoznacznawtymsensie,
˙
zeje
˙
zelidwiefunkcjex
1
(t)
ix
2
(t)maj˛atakiesametransformaty,tooznacza,
˙
zes˛arównaprawiewsz˛edzie.
Operacja
L
Zatemprzyjmujemy:
e
at
·1(t)
=
1
s−a
. dlaobsz.zbie˙zn.Re
s
>Re
a
(13)
L
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
(0−1)
16.Obszarzbie
˙
zno
´
sci
L
e
at
·1(t)
Wła´sciwo´sci
przekształceniaLaplace’a
Im
s
= jω
σ<α
σ>α
Re
a
= α = σ
a
Re
s
= σ
Transformata
L
e
at
·
1(t)
nie istnieje
Transformata
L
e
at
·
1(t)
istnieje
σ
a
= 0
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
5
17.Twierdzenieoliniowo
´
sci
18.Transformata
L
sin!t
·1(t)
Je
˙
zeliL
x
2
(t)
=X
2
(s) (14)
oraza
1
ia
2
s˛astałymi, (15)
Wykorzystamytwierdzenieoliniowo´sci:
sin!t·1(t)
=L
e
j!t
−e
−j!t
2j
·1(t)
=
1
1
s−j!
−
1
L
=
2j
s+j!
=···=
!
s
2
+!
2
(17)
a
1
x
1
(t)+a
2
x
2
(t)
=a
1
X
1
(s)+a
2
X
2
(s). (16)
toL
Zatemprzyjmujemy:
L
sin!t·1(t)
=
!
s
2
+!
2
. (18)
Obszaremzbie
˙
zno
´
sciotrzymanejtransformatyjestpółpłaszczyzna
Re
s
>Re
0
.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
1
x
1
(t)
=X
1
(s)iL
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

cukierek.xlx.pl

wykl 3

Tematy

wykl 3, Obwody i sygnały